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三、 積分部分 - 首頁 北京交通大學

三、 積分部分

導數、定積分的概念

裝甲兵工程學院 劉豔霞

對象:大學一年級本科.

目的:以實例作背景,引入導數、積分的概念,使學生對概念的理解更加清楚.

優勢:在講微積分時,向學生介紹微積分産生的背景知識,使學生認識到數學這門學科乃是撼人心靈的智力奮鬥的結晶,這将使學生不僅獲得真知灼見,還将獲得頑強地追究他所解決的問題的勇氣 , 并且不會因為他自己的工作并非完美無缺而感到頹喪. 這對

于學生克服學習數學可能遇到的困難是十分有益的.

另外,由于學生對現實問題的興趣比抽象的問題的興趣要大得多, 以實例引入抽象概念會提高他們的學習積極性和解決問題的能力.

使用學時:2學時

内容:

17世紀是由中世紀向新時代過渡的時期.資本主義開始發展,并成為與封建制度做鬥争的先進力量.精密科學從當時的生産與社會生活中獲得巨大動力.航海學引起了對天文學及光學的高度興趣.造船學,機器制造與建築,堤壩及運河的修建,彈道學及一般的軍事問題等等,促進了力學的發展.天文學,力學,光學以及工業技術本身,又要求對當時的數學作徹底的革命.當時科學面臨的主要問題是:

a、已知物體運動的路程與時間的關系,求物體在任意時刻的速度和加速度.反過來,已知物體運動的加速度與速度,求物體在任意時刻的速度與路程.困難在于,17世紀所涉及的速度

和加速度每時刻都在變化,計算平均速度可用運動的時間去除運動的距離.但對瞬時速度,運

動的距離和時間都是0,這就遇到了0/0的問題.這是人類第一次遇到這樣的問題.

b、求曲線的切線.這是一個純幾何的問題,但對于科學應用具有重大意義.例如在光學中,透鏡的設計就用到曲線的切線和法線的知識.在運動中也遇到曲線的切線的問題.運動物體在它的軌迹上任一點處的運動方向,是軌迹的切線方向.實際上“切線”,本身的意義也是沒有解

決的問題.對于圓錐曲線,把切線定義為和曲線隻接觸一點而且位于曲線一邊的直線就足夠了.這個定義古希臘人已經知道,但是對于17世紀所用的比較複雜的曲線,它就不适用了.

c 求函數的最大值和最小值問題.在彈道學中這涉及到炮彈的射程問題.在天文學中涉及到行星和太陽的最近和最遠距離問題.

d 求積問題.求曲線的弧長,曲線所圍區域的面積,曲面所圍的體積,物體的重心等.這些問題在古希臘已經開始研究,但他們的方法缺乏一般性.

微積分學從“萌芽”、“完善”這種奮鬥已經經曆兩千五百多年之久,發明遠非一、二人的工作,它經曆了一個漫長而曲折的思想潮流,17世紀最偉大的數學家如開蔔勒、笛卡兒、卡瓦列裡、費馬、帕斯卡、羅貝瓦、巴羅等也都參加了這項工作.最終在牛頓和萊布尼茨手中集其大成,迸發出新方法和新觀點的發明,使數學達到一個更高的水平!

很多的數學概念,是經過漫長、曲折的演變而來的,它反映了人們對事物逐漸精确的過程。數學這門學科乃是撼人心靈的智力奮鬥的結晶!

一、導數的概念

一個受污染的湖泊,為了使湖水能在一定時間内恢複到指定的潔淨程度,要對排入該湖的 51